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Problème du mois de Octobre : La Sauterelle et l'Escalier
Une sauterelle se trouve devant un escalier de $n$ marches où $n$ est un entier plus grand ou égal à $3$.
Son but est de monter sur la dernière marche de l'escalier et elle ne peut monter qu'une ou deux marches à chacun de ses sauts (et elle ne redescend jamais !).

Combien de possibilités, en fonction de $n$, la sauterelle a-t-elle d'atteindre son but ?
En notant $P(k)$ le nombre de possibilités d'atteindre la $k$-ieme marche, que peut-on dire de $P(n)$ en fonction des $P(i)$ avec $i=1,...,n-1$ ?
Problème du mois de Septembre : Somme de la somme de la somme des chiffres
Énoncé :
Que vaut la somme de la somme de la somme des chiffres du nombre (en base $10$ bien-sûr !) : \[ 4444^{4444} \]
  1. En base $10$, la somme des chiffres d'un nombre est congrue à ce nombre modulo ? (d'ailleurs, on peut généraliser ceci à une base $b$ quelconque, quel sera le ? dans ce cas ?)
  2. Pour conclure, il faut essayer de majorer grossièrement cette somme de somme de somme !
Correction :
Pour tout $x \in \mathbb{N}$, on note $s(x)$ la somme de ses chiffres en base $10$. Comme, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $10^n$ est congru à $1$ modulo $9$, on a : \[ s(x) \;\equiv\; x \; \text{ mod }9. \] Ainsi, le nombre $s(s(s(4444^{4444})))$ recherché vérifie : \[ s(s(s(4444^{4444})))\;\equiv\;s(s(4444^{4444}))\;\equiv\;s(4444^{4444})\;\equiv\;4444^{4444}\;\text{ mod }9. \quad (*) \] Or $4444=9\times 493 + 7\;\equiv\;7\;\text{ mod }9$ et $7^{4444}\;\equiv\;(7^{3})^{1481}\times 7\;\equiv\;7\;\text{ mod }9$ car $7^3\;\equiv\; 1 \text{ mod }9$;
Par suite, \[ 4444^{4444}\;\equiv\;7^{4444}\;\equiv\;7\;\text{ mod }9. \]

Il en résulte, d'après $(*)$, que : \[ s(s(s(4444^{4444})))\;\equiv\;7\;\text{ mod }9. \] Maintenant, on sait que $s(s(s(4444^{4444})))$ est de la forme $7+9n$ où $n \in \mathbb{N}$ (on a bien que $n$ est un entier naturel car notre somme de somme de somme est positive). On va alors majorer $s(s(s(4444^{4444})))$ pour pouvoir majorer $n$ et avec un peu de chance, on aura même une seule valeur possible !
On a $4444^{4444}\leqslant 10000^{4444}=10^{17776}$ et ce dernier nombre possède $17777$ chiffres en base $10$. Le nombre d'au plus $17777$ chiffres de somme des chiffres maximale est $99...99$ (avec $17777$ chiffres $9$) donc : \[ s(4444^{4444})\leqslant s(99...99)=9\times 17777=159993. \] Ainsi, $s(4444^{4444})$ est un nombre d'au plus $6$ chiffres et plus petit que $159993$. On emploie le même raisonnement pour la seconde somme des chiffres. Le nombre d'au plus $6$ chiffres, plus petit que $159993$ de somme des chiffres maximale est $99999$. Ainsi : \[ s(s(4444^{4444}))\leqslant s(99999)=5\times 9=45. \] Par suite, $s(s(4444^{4444}))$ est un nombre d'au plus $2$ chiffres et plus petit que $45$. Le nombre d'au plus $2$ chiffres, plus petit que $45$ de somme des chiffres maximale est $39$. On a donc finalement : \[ s(s(s(4444^{4444})))\leqslant s(39)=12. \]
Or, le seul nombre de la forme $7+9n$ ($n\in \mathbb{N}$) plus petit que $12$ est $7$. Il en résulte que :

La somme de la somme de la somme des chiffres de $4444^{4444}$ est égale à $7$ !